向量证明重心(精选多篇)

第一篇：向量证明重心

向量证明重心

三角形abc中，重心为o，ad是bc边上的中线，用向量法证明ao=2od

(1).ab=12b，ac=12c。ad是中线则ab+ac=2ad即12b+12c=2ad，ad=6b+6c;bd=6c-6b。od=xad=6xb+6xx。(2).e是ac中点。作df//be则ef=ec/2=ac/4=3c。平行线分线段成比od/ad=ef/af即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).od=2b+2c，ao=ad-od=4b+4c=2(2b+2c)=2od。

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设bc中点为m∵pa+pb+pc=0∴pa+2pm=0∴pa=2mp∴p为三角形abc的重心。上来步步可逆、∴p是三角形abc重心的充要条件是pa+pb+pc=0

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如何用向量证明三角形的重心将中线分为2：1

设三角形abc的三条中线分别为ad、be、cf，求证ad、be、cf交于一点o，且ao：od=bo：oe=co：of=2：1

证明：用归一法

不妨设ad与be交于点o，向量ba=a,bc=b,则ca=ba-bc=a-b

因为be是中线，所以be=(a+b)/2,向量bo与向量be共线，故设bo=xbe=(x/2)(a+b)

同理设ao=yad=(y/2)(ab+ac)=y/2(-a+b-a)=-ya+( ……此处隐藏2850个字……

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c．3d．6

2．若?abc的外接圆的圆心为o，半径为1，oa?ob?oc?0，则oa?ob?() a．

12

b．0c．1d．?

12

3．点o在?abc内部且满足oa?2ob?2oc?0，则?abc面积与凹四边形

aboc

面积之比是（） a．0b．

32

c．

54

d．

43

4．?abc的外接圆的圆心为o，若oh?oa?ob?oc，则h是?abc的（）

a．外心b．内心c．重心d．垂心

5．o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，若oa

?bc?ob

?ca?oc?ab，则o是?abc的（）

a．外心b．内心c．重心d．垂心

oh?m(oa?ob?oc)，?abc的外接圆的圆心为o，6．两条边上的高的交点为h，

则实数m =

→→→→1abacabac→→→

7．（06陕西）已知非零向量ab与ac满足(+ )·bc=0 · = , 则

2→→→→|ab||ac||ab||ac|△abc为()

a．三边均不相等的三角形b．直角三角形 c．等腰非等边三角形d．等边三角形

8．已知?abc三个顶点a、b、c，若ab

?abc为（）

?ab?ac?ab?cb?bc?ca，则

a．等腰三角形b．等腰直角三角形

c．直角三角形d．既非等腰又非直角三角形 练习答案：c、d、c、d、d、1、d、c